De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Pagina 168

30 schoenen (15 rechtse, 15 linkse) staan in willekeurige volgorde op een rij. Bewijs dat, in welke volgorde de schoenen ook staan, er in de rij altijd een rij van 10 opeenvolgende schoenen is die evenveel linkse als rechtse schoenen bevat.

$\rightarrow$ ik heb a.d.h.v een herhalingspermutatie van 15, 15 uit de 30 berekend (=30!/15!15!) dat er 155117520 mogelijkheden zijn maar ik vind maar niet hoe ik kan aantonen dat er altijd een rij van 10 is met evenveel rechtse als linkse

Antwoord

We nummeren de plaatsen $1$ tot en met $30$ en we noteren met $f(n)$ het aantal linkerschoenen onder de schoenen op posities $n$, $n+1$, $\ldots$, $n+9$. Merk nu op dat $f(1)+f(11)+f(21)=15$: de intervallen $[1,10]$, $[11,20]$ en $[21,30]$ zijn disjunct en bevatten alle schoenen.
Als $f(1)$ of $f(11)$ of $f(21)$ gelijk is aan $5$ zijn we klaar; zo niet dan is zeker een van de drie kleiner dan $5$ en een is er groter dan $5$, Bijvoorbeeld $f(1)\prec5\prec f(11)$.
Vervolgens geldt dat voor elke $n$ de waarden $f(n)$ en $f(n+1)$ hooguit $1$ verschillen: als op posities $n$ en $n+10$ dezelfde schoenen staan (LL of RR) is het verschil $0$; als er verschillende schoenen staan (LR of RL) is het verschil $\pm1$.
Nu volgt dat $f(n)=5$ voor een $n$ tussen $1$ en $11$.

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Goniometrie
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	19-5-2024